Question

【題目】如圖，已知拋物線經過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點O，頂點為C．

（1）求拋物線的函數解析式．
（2）設點D在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，若四邊形AODE是平行四邊形，求點D的坐標．
（3）聯接BC交x軸于點F．y軸上是否存在點P，使得△POC與△BOF相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

將點A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得： ，

解得： ，

故拋物線函數解析式為：y=x2+2x

（2）解：∵AO為平行四邊形的一邊，

∴DE∥AO，DE=AO，

∵A（﹣2，0），

∴DE=AO=2，

∵四邊形AODE是平行四邊形，

D在對稱軸x=﹣1的右側，D點橫坐標為：﹣1+2=1，帶入拋物線解析式得y=3，

∴D的坐標為（1，3）

（3）解：在y軸上存在點P，使得△POC與△BOF相似，理由如下：

由y=x2+2x，頂點C的坐標為（﹣1，1），

∵tan∠BOF= =1，

∴∠BOF=45°，

當點P在y軸的負半軸時，tan∠COP= =1，

∴∠COP=45°，

∴∠BOF=∠COP，

設BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵圖象經過B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）

∴ ，

∴ ，

∴y=﹣2x﹣3；

令y=0，則x=﹣1.5．

∴F（﹣1.5，0），

∴OB=3 ，OF=1.5，OC= ，

①當△POC∽△FOB時，

則 = ，

即 = ，

∴OP= ，

∴P（0，﹣ ）；

②當△POC∽△BOF時，

∴ = ，

∴OP=4，

∴P（0，﹣4），

∴當△POC與△BOF相似時，點P的坐標為（0，﹣ ）或（0，﹣4）．

【解析】（1）主要考察拋物線的解析式，只需將已知點代入y=ax2+bx+c（a≠0），即可解出a、b、c帶入原式得到拋物線的解析式。
（2）把拋物線和平行四邊形結合起來考察，利用平行四邊形的特征找到于AO平行且相等的線段，且兩端點分別在拋物線和拋物線的對稱軸上，由對稱軸得出橫坐標，代入拋物線方程解出D點坐標，解題思路主要是平行四邊形性質結合拋物線方程。
（3）相似三角形對應邊的比值相等，解題思路利用拋物線解出過點AB的方程，根據直線方程得到F坐標，三角形要相似，對應邊的比值要相等，從而找到P點坐標，此題主要考察三角形相似的性質，直線方程與拋物線結合，還用到解直角三角形。整個大題最容易被扣分的就是有多種情況，容易做漏，所以我們在考慮時應該假設多種情況一一排除。