Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F。

（1）求OA、OC的長；
（2）求證：DF為⊙O′的切線；
（3）小明在解答本題時，發現△AOE是等腰三角形。由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形，且點P一定在⊙O′外”。你同意他的看法嗎？請充分說明理由。

Answer 1

（1）OC=3，  OA=5
（2）證明略
（3）略

（1）在矩形OABC中，設OC="x " 則OA= x+2，依題意得
         解得：
（不合題意，舍去）    ∴OC=3，  OA="5" ……………3分
（2）連結O′D，在矩形OABC中，OC=AB，∠OCB=∠ABC=90，CE=BE=
∴ △OCE≌△ABE  ∴EA="EO   " ∴∠EOA=∠EAO
在⊙O′中， ∵ O′O= O′D     ∴∠EOA=∠O′DO
∴∠O′DO =∠EAO     ∴O′D∥AE，    
∵DF⊥AE    ∴ DF⊥O′D
又∵點D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑 ，∴DF為⊙O′切線．……………6分
不同意. 理由如下:
①當AO=AP時，
以點A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P1和P4兩點
過P1點作P1H⊥OA于點H，P1H =" OC" = 3，∵A P1=" OA" = 5
∴A H = 4， ∴OH ="1        "
求得點P1（1，3）   同理可得：P4（9，3）…………8分
②當OA=OP時，同上可求得:：P2（4，3），P3（4，3）
因此，在直線BC上，除了E點外，既存在⊙O′內的點P1，又存在⊙O′外的點P2、P3、P4，它們分別使△AOP為等腰三角形．……………10分