Question

【題目】如圖，已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）設直線BC交y軸于點E，連接AE，求證：AE=CE；
（3）設拋物線與y軸交于點D，連接AD交BC于點F，試問以A、B、F為頂點的三角形與△ABC相似嗎？
（4）若點P為直線AE上一動點，當CP+DP取最小值時，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設函數解析式為：y=ax2+bx+c，

由函數經過點A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6），

可得 ，

解得： ，

故經過A、B、C三點的拋物線解析式為：y=﹣x2﹣3x+4

（2）

解：設直線BC的函數解析式為y=kx+b，

由題意得： ，

解得： ，

即直線BC的解析式為y=﹣2x+2．

故可得點E的坐標為（0，2），

從而可得：AE= =2 ，CE= =2 ，

故可得出AE=CE

（3）

解：方法一：相似．理由如下：

設直線AD的解析式為y=kx+b，

則 ，

解得： ，

即直線AD的解析式為y=x+4．

聯立直線AD與直線BC的函數解析式可得： ，

解得： ，

即點F的坐標為（﹣ ， ），

則BF= = ，

又∵AB=5，BC= =3 ，

∴ = ， = ，

∴ = ，

又∵∠ABF=∠CBA，

∴△ABF∽△CBA．

故以A、B、F為頂點的三角形與△ABC相似

方法二：

若△ABF∽△ABC，則 ，即AB2=BF×BC，

∵A（﹣4，0），D（0，4），

∴lAD：y=x+4，lBC：y=﹣2x+2，

∴lAD與lBC的交點F（﹣ ， ），

∴AB=5，BF= ，BC=3 ，

∴AB2=25，BF×BC= ×3 =25，

∴AB2=BF×BC，

又∵∠ABC=∠ABC，

∴△ABF∽△ABC

（4）

解：由（3）知：KAE= ，KCE=﹣2，

∴KAE×KCE=﹣1，

∴AE⊥CE，

過C點作直線AE的對稱點C‘，點E為CC′的中點，

∴ ， ，

∵C（﹣2，6），E（0，2），

∴C′X=2，C′Y=﹣2，

∵D（0，4），∴lC′D：y=﹣3x+4，

∵lAE：y= x+2，

∴lC′D與lAE的交點P（ ， ）

【解析】（1）利用待定系數發求解即可得出拋物線的解析式；（2）求出直線BC的函數解析式，從而得出點E的坐標，然后分別求出AE及CE的長度即可證明出結論；（3）求出AD的函數解析式，然后結合直線BC的解析式可得出點F的坐標，由題意得∠ABF=∠CBA，然后判斷出 是否等于 即可作出判斷．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減�。�