Question

【題目】如圖所示，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．

（1）求證：CM=CN；

（2）若△CMN的面積與△CDN的面積比為3:1，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）MN=

【解析】試題分析：（1）由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM，由四邊形ABCD是矩形，可得∠ANM=∠CMN，則可證得∠CMN=∠CNM，繼而可得CM=CN；（2）首先過點N作NH⊥BC于點H，由△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，易得MC=3ND=3HC，然后設DN=x，由勾股定理，可求得MN的長，繼而求得答案．

試題解析：

（1）由折疊的性質可得：∠ANM=∠CNM ．

∵ 四邊形ABCD是矩形，

∴ AD∥BC ．

∴∠ANM=∠CMN ．

∴∠CMN=∠CNM ．

∴ CM=CN．

（2）過點N作NH⊥BC于點H，如圖所示：

則四邊形NHCD是矩形，

∴HC=DN，NH=DC，

∵△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，

∴===3，

∴MC=3ND=3HC，

∴MH=2HC，

設DN=x，則HC=x，MH=2x，

∴CM=3x=CN，

在Rt△CDN中，DC==2x，

∴HN=2x，

在Rt△MNH中，MN==2x，

∴==2．