Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+mx（m＞0且m≠1）與x軸交于原點O和點A，點B的坐標為（1，﹣1），連結AB，將線段AB繞點A順時針旋轉90°得到線段AC，連結OB、OC．

（1）求點A的橫坐標．（用含m的代數式表示）．
（2）若m=3，則點C的坐標為 ．
（3）當點C與拋物線的頂點重合時，求四邊形ABOC的面積．
（4）結合m的取值范圍，直接寫出∠AOC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2+mx與x軸交于點A，

∴﹣x2+mx=0，解得x=0或m，

∴點A的橫坐標為m．

（2）（2，2）
（3）

解：如圖2中，作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E．

由（2）可知△ADB≌△CEA，

∴BD=AE，AD=CE

∵B（1，﹣1），A（m，0），

∴OE=m﹣1，CE=m﹣1，

∴C（m﹣1，m﹣1），

∵點C（m﹣1，m﹣1）與拋物線的頂點（ ， ）重合，

∴m﹣1= ，

∴m=2．

∴S四邊形ABOC= ×2×（1+1）=2．

（4）

解：①如圖3中，當O＜m＜1時，∠AOC=135°，理由如下：

作CN⊥x軸于N，BM⊥x軸于M．

∵∠NAC+∠BAM=90°，∠BAM+∠ABM=90°，

∴∠NAC=∠ABM，

在△ACN和△BAM中，

，

∴△ACN≌△BAM，

∴BM=AN=1，CN=AM，

∴AN=OM=1，

∴ON=CN，

∴∠NOC=∠NC0=45°，

∴∠AOC=135°

②當m＞1時，∠AOC=45°，理由如下：

作CN⊥x軸于N，BM⊥x軸于M，∵△ACN≌△BAM，

∴BM=AN=OM=1，AM=CN，

∴ON=AM=CN，∵∠ONC=90°，

∴∠COA=45°．

【解析】解：（2）如圖1中，∵m=3，
∴點A坐標為（3，0），
作BD⊥OA于D，CE⊥OA于E．
∵∠ADB=∠AEC=∠BAC=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DBA，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA，
∴BD=AE=1，AD=CE=2，
∴點C坐標（2，2）．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．