Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點G，過D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）當∠BAC＝60°，AB＝8時，求EG的長；

（3）當AB＝5，BC＝6時，求tanF的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）tanF＝．

【解析】

（1）連接OD，由等腰三角形的性質得出∠ODB=∠C，證出OD∥AC，再由已知得出EF⊥OD，即可證出EF是⊙O的切線；

（2）連接BG、AD，由圓周角定理得出∠AGB=∠ADB=90°，即BG⊥AC，AD⊥BC，由等腰三角形的性質得出BD=CD，證出△ABC是等邊三角形，得出AC=AC=8，證出EF∥BG，由平行線得出CE：EG=CD：BD，證出CE=EG，由等腰三角形的性質得出，即可得出EG的長；

（3）由等腰三角形的性質得出，由勾股定理求出，由三角函數求出，得出，再由勾股定理求出，由平行線得出△ODF∽△AEF，得出對應邊成比例求出，在Rt△ODF中，由三角函數定義即可得出答案．

解（1）證明：如圖1，連接OD，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠OBD，

∵OD＝OB，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OD，

∴EF是⊙O的切線；

（2）如圖2，連接BG、AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AGB＝∠ADB＝90°，

即BG⊥AC，AD⊥BC，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴BD＝CD，△ABC是等邊三角形，

∴AC＝AC＝8，

∵EF⊥AC，

∴EF∥BG，

∴CE：EG＝CD：BD，

∴CE＝EG，

∵BG⊥AC，

∴CG＝AG＝AC＝4，

∴EG＝CG＝2；

（3）解：∵AD⊥BC，CD＝BD＝BC＝3，

∴AD＝＝＝4，sinC＝＝＝，

∴DE＝CD＝×3＝，

∴AE＝＝＝，

∵OD∥AC，

∴△ODF∽△AEF，

∴，即，

解得：DF＝，

在Rt△ODF中，OD＝AB＝，

∴tanF＝＝＝．