Question

【題目】一張圓形紙片，小芳進行了如下連續操作：

將圓形紙片左右對折，折痕為AB，如圖．

將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點重合，折痕CD與AB相交于M，如圖．

將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點重合，折痕EF與AB相交于N，如圖．

連結AE、AF、BE、BF，如圖．

經過以上操作，小芳得到了以下結論：

；四邊形MEBF是菱形；為等邊三角形；：：．以上結論正確的有

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據折疊的性質可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，兩直線平行可得CD∥EF，從而判定①正確；

根據垂徑定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，從而得到BM、EF互相垂直平分，然后根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形求出四邊形MEBF是菱形，從而得到②正確；根據直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根據等邊對等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠AEM=30°，從而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根據三角形的內角和等于180°求出∠EAF=60°，從而判定△AEF是等邊三角形，③正確；

設圓的半徑為r，求出EN= ，則可得EF=2EN=，即可得S四邊形AEBF：S扇形BEMF的答案，所以④正確．

解：∵紙片上下折疊A、B兩點重合，

∴∠BMD=90°，

∵紙片沿EF折疊，B、M兩點重合，

∴∠BNF=90°，

∴∠BMD=∠BNF=90°，

∴CD∥EF，故①正確；

根據垂徑定理，BM垂直平分EF，

又∵紙片沿EF折疊，B、M兩點重合，

∴BN=MN， ∴BM、EF互相垂直平分，

∴四邊形MEBF是菱形，故②正確；

∵ME=MB=2MN，

∴∠MEN=30°，

∴∠EMN=90°-30°=60°，

又∵AM=ME（都是半徑），

∴∠AEM=∠EAM，

∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，

∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，

同理可求∠AFE=60°， ∴∠EAF=60°，

∴△AEF是等邊三角形，故③正確；

設圓的半徑為r，則EN=， ∴EF=2EN=，

∴S四邊形AEBF：S扇形BEMF=

故④正確，

綜上所述，結論正確的是①②③④共4個．

故選：D．