Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為D，直線DC與AB的延長線相交于P．弦CE平分∠ACB，交直徑AB于點F，連結BE．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）探究線段PC，PF之間的大小關系，并加以證明；
（3）若tan∠CEB= ，BE=5 ，求AC、BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA．

∵PC是⊙O的切線，AD⊥CD，

∴∠OCP=∠D=90°，

∴OC∥AD．

∴∠CAD=∠OCA=∠OAC．

即AC平分∠DAB．

（2）解：PC=PF．

理由：∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠PCB+∠ACD=90°

又∵∠CAD+∠ACD=90°，

∴∠CAB=∠CAD=∠PCB．

又∵∠ACE=∠BCE，∠PFC=∠CAB+∠ACE，∠PCF=∠PCB+∠BCE．

∴∠PFC=∠PCF．

∴PC=PF．

（3）解：如圖2，連接AE．∵∠ACE=∠BCE，

∴ ，

∴AE=BE．

又∵AB是直徑，

∴∠AEB=90°．AB= BE=10，

∵tan∠CEB=tan∠CAB= ，

∴ = ．

設BC=3x，則CA=4x，

在Rt△ABC中，（3x）2+（4x）2=100

解得x=﹣2（舍）或x=2，

∴BC=6，AC=8．

【解析】（1）先判斷出∠OAC=∠OCA，再判斷出OC∥AD，即可得出結論；（2）先判斷出∠CAD+∠ACD=90°，進而得出∠PFC=∠PCF即可得出結論；（3）先求出AB=10，再找出3CA=4BC，最后用勾股定理即可得出結論．