Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝6，E為BC中點，F是AB上一點，G為AD上一點，且BF＝2，∠FEG＝60°，EG交AC于點H，下列結論：①△BEF∽△CHE；②AG＝1；③EH＝；④S△BEF＝3S△AGH；正確的是______．（填序號即可）

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

①菱形的性質以及一線三等角即可證明△BEF∽△CHE，故①正確；

②由△BEF∽△CHE，可得，從而求得CH，由此可得AH，由△AGH∽△CEH，可得，從而求得AH=1，故②正確；

③過H作HM⊥BC于點M，在Rt△HMC中，HM=HC·sin60，MC=HC·sin30=，可得ME=EC-MC=，在Rt△MEH中，由勾股定理可得EH=，故③正確；

④由△BEF∽△CHE，△AHG∽△CHE，可得△BEF∽△AHG，即，即S△BEF＝4S△AGH，故④錯誤，故答案為：①②③

①∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60 ，BC=6，

∴AB=BC=AC=6，

∵∠CEH+∠FEH+∠FEB=180 ，∠B+∠FEB+∠BFE=180 ，∠B=∠FEH =60 ，

∴∠BFE=∠CEH，

∴△BEF∽△CHE，故①正確；

②∵E是BC的中點，

∴BE=CE=3，

∵△BEF∽△CHE，

∴，即，

∴CH=，

∴AH=AC-CH=6-=，

∵AD∥BC，

∴△AGH∽△CEH，

∴，即，

∴AH=1，故②正確；

③過H作HM⊥BC于點M，

在Rt△HMC中，∠C=60，HC=，

∴HM=HC·sin60=，

MC=HC·sin30=，

∴ME=EC-MC=3-=，

在Rt△MEH中，HE==，故③正確；

④∵△BEF∽△CHE，△AHG∽△CHE，

∴△BEF∽△AHG，

∴，

即S△BEF＝4S△AGH，故④錯誤，

故答案為：①②③