Question

【題目】已知，點是線段所在平面內任意一點，分別以、為邊，在同側作等邊和等邊，聯結、交于點．

(1)如圖1，當點在線段上移動時，線段與的數量關系是:________；

(2)如圖2，當點在直線外，且，仍分別以、為邊，在 同側作等邊和等邊，聯結、交于點．(1)的結論是否還存在？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．此時是否隨的大小發生變化？若變化，寫出變化規律，若不變，請求出的度數；

(3)如圖3，在(2)的條件下，聯結，求證： 平分．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)成立，證明見解析， ；(3) 證明見解析.

【解析】試題分析：（1）直接寫出答案即可．

（2）證明ΔACD≌ΔECB，得到∠CEB=∠CAD，此為解題的關鍵性結論；借助內角和定理即可解決問題．

（3）過點C分別作CM⊥AD于M，CN⊥EB于N，由ΔACD≌ΔECB，得到CM=CN，從而得到結論．

試題解析：解：（1）∵△ACE、△CBD均為等邊三角形，∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，∴∠ACD=∠ECB；

在△ACD與△ECB中，∵AC=EC，∠ACD=∠ECB，CD=CB，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD=BE，故答案為：AD=BE．

（2）AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發生變化，始終是60°．

證明如下：

∵ΔACE和ΔBCD是等邊三角形，∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，∴∠BCE=∠ACD，

在ΔACD和ΔECB中，∵AC=EC，∠BCE=∠ACD，CD=CB，∴ΔACD≌ΔECB，∴AD=BE．

∵ΔACD≌ΔECB，∴∠CAD=∠CEB，∵∠APB=∠PAE+∠PEA，∴∠APB=∠CAE+∠CEA=120°，∴∠APE=60°；

（3）過點C分別作CM⊥AD于M，CN⊥EB于N，∵ΔACD≌ΔECB，∴CM=CN，∴CP平分∠DPE．