Question

【題目】根據題意解答
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得線段BE、EF、FD之間的數量關系為 ．

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF= ∠BAD，線段BE、EF、FD之間存在什么數量關系，為什么？

（3）如圖3，點A在點O的北偏西30°處，點B在點O的南偏東70°處，且AO=BO，點A沿正東方向移動249米到達E處，點B沿北偏東50°方向移動334米到達點F處，從點O觀測到E、F之間的夾角為70°，根據（2）的結論求E、F之間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）EF=BE+DF
（2）

解：EF=BE+DF仍然成立．

證明：如圖2，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，

∴∠B=∠ADG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF= ∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△GAF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF

（3）

解：如圖3，連接EF，延長AE、BF相交于點C，

∵∠AOB=20°+90°+（90°﹣60°）=140°，

∠EOF=70°，

∴∠EOF= ∠AOB，

又∵OA=OB，

∠OAC+∠OBC=（90°﹣20°）+（60°+50°）=180°，

∴符合探索延伸中的條件，

∴結論EF=AE+BF成立，

即EF=583米．

【解析】解：（1）EF=BE+DF；
證明：如圖1，延長FD到G，使DG=BE，連接AG，

在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△GAF（SAS），
∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，
∴EF=BE+DF；
所以答案是：EF=BE+DF