Question

【題目】如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，AD=3cm，BC=9cm．⊙O1的圓心O1從點(diǎn)A開(kāi)始沿折線A﹣D﹣C以1cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，⊙O2的圓心O2從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊以cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，⊙O1半徑為2cm，⊙O2的半徑為4cm，若O1、O2分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．

（1）請(qǐng)求出⊙O2與腰CD相切時(shí)t的值；

（2）在0s＜t≤3s范圍內(nèi)，當(dāng)t為何值時(shí)，⊙O1與⊙O2外切？

Answer 1

【答案】（1）；（2）經(jīng)過(guò)3秒，⊙O1與⊙O2外切

【解析】試題（1）先設(shè)⊙O2運(yùn)動(dòng)到E與CD相切，且切點(diǎn)是F；連接EF，并過(guò)E作EG∥BC，交CD于G，再過(guò)G作GH⊥BC于H，即可得到直角三角形EFG和矩形GEBH．由∠C=60°可得∠CGH=30°，即可得到∠FGE=60°．在Rt△EFG中，根據(jù)勾股定理可得EG的值，那么CH=BC-BH=BC-EG．在Rt△CGH中，利用60°的角的正切值可求出GH的值，即可求得結(jié)果；

（2）因?yàn)?/span>0s＜t≤3s，所以O1一定在AD上，連接O1O2．利用勾股定理可得到關(guān)于t的一元二次方程，解出即可．

（1）如圖所示，設(shè)點(diǎn)O2運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，⊙O2與腰CD相切．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DC，垂足為F，則EF=4cm．作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足為H．

由直角三角形GEF中，∠EGF+∠GEF=90°，

又∠EGF+∠CGH=90°，

∴∠GEF=∠CGH=30°，

設(shè)FG=xcm，則EG=2xcm，又EF=4cm，

根據(jù)勾股定理得：，解得，

則，

又在直角三角形CHG中，∠C=60°，

∴

則EB=GH=CHtan60°=

∴秒；

（2）由于0s＜t≤3s，所以，點(diǎn)O1在邊AD上．如圖連接O1O2，則O1O2=6cm．

由勾股定理得，

解得，（不合題意，舍去）．

答：經(jīng)過(guò)3秒，⊙O1與⊙O2外切．