Question

已知在△ABC中，AB=AC=6，且△ABC的面積是12．
（1）①在圖1中，求BD的長．②在圖2中，P是BC的中點，求PM+PN．
（2）圖3中，對于BC邊上任意一點P，請對點P到兩腰距離和（PM+PN）與腰上高（CQ）的大小關系提出猜想，并加以證明．
（3）如圖4，在矩形ABCD中，P是CD邊任意一點，AD=3，CD=4，請直接寫出P到BD、AC的距離和PM+PN．

Answer 1

分析：（1）①根據三角形的面積公式列式即可求解，②連接AP，把△ABC分成兩個三角形，△APB與△APC，然后利用△ABC的面積的兩種不同表示即可得解；
（2）連接AP，把△ABC分成兩個三角形，△APB與△APC，然后利用△ABC的面積=△APB的面積+△APC的面積，又AB=AC，整理即可得解；
（3）連接OP，過點D作DE⊥AC，垂足為E，根據（2）中的結論PM+PN=DE，利用勾股定理求出AC的長度，再利用△ACD的面積求出DE的長度，即可得解．

解答：解：（1）①△ABC的面積=

1

2

×AC×BD，
∴

1

2

×6×BD=12，
解得BD=4，
②連接AP，則△ABC的面積=△APB的面積+△APC的面積，
即

1

2

×AC×BD=

1

2

×AB×PM+

1

2

×AC×PN，
∵AB=AC，
∴BD=PM+PN，
∴PM+PN=4；

（2）PM+PN=CQ．
理由如下：連接AP，則△ABC被分成△APB與△APC，
∴△ABC的面積=△APB的面積+△APC的面積，
即

1

2

×AC×CQ=

1

2

×AB×PM+

1

2

×AC×PN，
∵AB=AC，
∴PM+PN=CQ；

（3）過D作DE⊥AC，垂足為E，根據（2）的結論得，PM+PN=DE，
∵AD=3，CD=4，
∴AC=

AD2+CD2

=

32+42

=5，
S_△ABC=

1

2

×AD×CD=

1

2

×AC×DE，
即

1

2

×3×4=

1

2

×5×DE，
解得DE=

12

5

，
∴PM+PN=

12

5

．

點評：本題考查了矩形的性質，等腰三角形的性質，利用三角形的面積公式列出算式并整理是解題的關鍵．