Question

已知在△ABC中，∠BAC=90°，AC=4，BC=4

5

，若點D、E、F分別為AB、BC、AC邊的中點，點P為AB邊上的一個動點（且不與點A、B重合），PQ∥AC，且交BC于點Q，以PQ為一邊在點B的異側作正方形PQMN，設正方形PQMN與矩形ADEF的公共部分的面積為S，BP的長為x，試求S與x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：根據AC，BC的長，可在直角三角形中求出AB=8，那么DE=2，AD=BD=4，要分①當N在D點或D點左側；②當N在D點右側，而P點在D點左側；③當P在D點右側；④當P在A左側四種情況進行討論．

解答：
解：根據AC，BC的長，可在直角三角形中求出AB=8，那么DE=2，AD=BD=4，要分四種情況進行討論：
①當N在D點或D點左側時，即0＜x≤

8

3

時，此時正方形與矩形沒有重合，因此S=0
②當N在D點右側，而P點在D點左側時，即

8

3

＜x≤4，此時正方形與矩形重合的面積應該是以DN為長，NM為寬的矩形，DN=PN-PD=PN-（BD-BP）=

1

2

x-（4-x）=

3

2

x-4，而NM=PQ=

1

2

x，因此重合部分的面積應該是S=（

3

2

x-4）×

1

2

x=

3

4

x²-2x
③當P在D點右側，而N點在A點左側時，即4＜x≤

16

3

時，此時正方形重合部分的面積應該是以正方形邊長為長，DE為寬的矩形的面積，PN=

1

2

x，DE=2，因此此時重合部分的面積是S=

1

2

x×2=x
④當P在A左側，而N點在BA延長線上時，即

16

3

＜x＜8時，此時重合部分的面積應該是以DE長為寬，PA長為長的矩形的面積．AP=AB-BP=8-x，AF=DE=2，因此此時重合部分的面積應該是S=（8-x）×2=16-2x．

點評：本題主要考查了中位線定理以及相似三角形的應用等知識點，本題要根據正方形所處的位置不同進行分類討論，不要漏解．