Question

已知：AC是⊙O的直徑，點A、B、C、O在⊙O₁上，OA=2．建立如圖所示的直角坐標系．∠ACO=∠ACB=60度．
（1）求點B關于x軸對稱的點D的坐標；
（2）求經過三點A、B、O的二次函數的解析式；
（3）該拋物線上是否存在點P，使四邊形PABO為梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）如圖：∵點A、B、C、D在⊙O上，且∠ACO=∠ACB=60°，
∴∠BOA=∠ABO=60°，
∴△ABO是等邊三角形，
∵OA=2，
過點B作BD⊥OA于點D，
∴OD=

1

2

OA-1，BD=OB•sin60°=

3

，
∴B（1，

3

），
∴點B關于x軸對稱的點D的坐標為（1，-

3

）；

（2）設經過A（2，0）、B（1，

3

）、O（0，0）的二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∴

0=c 0=4a+2b+c 3 =a+b+c

，

a=- 3 b=2 3 c=0

，
∴y=-

3

x2+2

3

；

（3）存在點P，使四邊形PABO為梯形，
∵△BOA是等邊三角形，
點D是點B關于x軸的對稱點，
∴OA、BD相互垂直平分，
∴四邊形DABO是菱形，
∴AD∥BO，
∴所求點P必在直線AD上，
設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠O），
∴

0=2k+b - 3 =K+b

，
即

k= 3 b=-2 3

，
∴y=

3

x-2

3

，
聯立

y= 3 x-2 3 y=- 3 x2+2 3 x

，
解得

x1=2 y1=0

x2=-1 y1=-3 3

，
當

x1=2 y1=0

時，就是點A（2，0）；
當

x2=-1 y1=-3 3

時，
即為所求點P（-1，-3

3

），
過點P作PG⊥x軸于G，則|PG|=3

3

，
∴PA=6而BO=2，
在四邊形PABO中，BO∥AP且BO≠AP，
∴四邊形PABO不是平行四邊形，
∴OP與AB不平行，
∴四邊形PABO為梯形，
同理，在拋物線上可求得另一點P（3，-3

3

），也能使四邊形PABO為梯形．
故存在點P（-1，-3

3

），或P（3，-3

3

），使四邊形PABO為梯形．