Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F．
（1）求證：△PFA∽△ABE；
（2）當點P在射線AD上運動時，設PA=x，是否存在實數x，使以P，F，E為頂點的三角形也與△ABE相似？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）在△PFA與△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；
（2）根據題意：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB；必須有PE∥AB；分兩種情況進而列出關系式．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠PAF=∠AEB．
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE．

（2）解：若△EFP∽△ABE，則∠PEF=∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四邊形ABEP為矩形．
∴PA=EB=2，即x=2．
若△PFE∽△ABE，則∠PEF=∠AEB．
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴點F為AE的中點．
∵AE=

AB2+BE2

=2

5

，
∴EF=

1

2

AE=

5

．
∵

PE

AE

=

EF

EB

，即

PE

2 5

=

5

2

，
∴PE=5，即x=5．
∴滿足條件的x的值為2或5．

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．