Question

如圖，在△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，⊙O是△ABC的內切圓，點P從點B開始沿BC邊向C以1cm/s的速度移動，點Q從C點開始沿CA邊向點A以2cm/s的速度移動。

(1)求⊙O的半徑；
(2)若P、Q分別從B、C同時出發，當Q移動到A時，P點與⊙O是什么位置關系？
(3)若P、Q分別從B、C同時出發，當Q移動到A時，移動停止，則經過幾秒，△PCQ的面積等于5cm²？

Answer 1

(1)2；（2）P點在⊙O上；（3）1.

試題分析：（1）連接AO、BO、CO,利用面積法易求出⊙O的半徑；
（2）設⊙O與三角形三邊的切點分別為D、E、F，易求各段的長度，再求出Q點運動的時間，即可判斷P點的位置；
（3）設經過t秒.分別用含有t的代數式表示PC、CQ代入三角形面積計算公式即可求出t的值.
試題解析：（1）在Rt△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，由勾股定理得AB=10cm,
設⊙O的半徑為r，則有：S△ABO+ S△BOC+ S△AOC=AC×BC
即AB×r+BC×r+AC×r==AC×BC
所以r=2cm
（2）如圖，⊙O與三角形三邊的切點分別為D、E、F，設BD=BE=xcm，則CD=CQ=(6-x)cm,AQ=AE=(2+x)cm.

∴2+x+x=10
∴x=4即BD=4cm.
點Q從C到A的時間為：8÷2=4（分鐘）
∴P運動到點D，即P點在⊙O上；
（3）設經過t秒，則PC=(6-t)cm,CQ=2t.
又△PCQ的面積等于5cm²
∴(6-t)×2t=5
解得t=1或t=5（大于4s，故舍去）
考點: （1）圓的切線；（2）一元二次方程.