Question

【題目】已知二次函數y=x2+bx+c的圖象經過點A（﹣3，6），并與x軸交于點B（﹣1，0）和點C，頂點為P．

（1）求這個二次函數的解析式，并在下面的坐標系中畫出該二次函數的圖象；

（2）設D為線段OC上的一點，滿足∠DPC=∠BAC，求點D的坐標；

（3）在x軸上是否存在一點M，使以M為圓心的圓與AC、PC所在的直線及y軸都相切？如果存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣； P（1，﹣2），C（3，0）（2）D（，0）（3）存在

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法求出的值后可求出該函數的解析式；
（2）證明利用線段比求出各相關線段的值后易求點的坐標；
（3）過M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分別為H、G，推出是等腰直角三角形，M是的內切圓圓心，根據直線與圓的關系進行解答．

試題解析：(1)∵二次函數的圖象過點A(3,6),B(1,0)，

得

解得

∴這個二次函數的解析式為：

由解析式可求P(1,2),C(3,0),

畫出二次函數的圖象;

(2)解法一：

易證：

又已知：∠DPC=∠BAC，

∴△DPC∽△BAC,

易求

解法二：過A作AE⊥x軸，垂足為E，

設拋物線的對稱軸交x軸于F，

亦可證△AEB∽△PFD,

易求：AE=6，EB=2，PF=2，

(3)存在.

①過M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分別為H、G，設AC交y軸于S，CP的延長線交y軸于T，

∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的內切圓圓心，

∴MG=MH=OM,

又且OM+MC=OC，

得

②在x軸的負半軸上,存在一點M′，

同理OM′+OC=M′C,

得

即在x軸上存在滿足條件的兩個點.