Question

【題目】已知如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C，連接AC，點P是直線AC上方的拋物線上一動點（異于點A，C），過點P作PE⊥x軸，垂足為E，PE與AC相交于點D，連接AP．

（1）求點C的坐標；

（2）求拋物線的解析式；

（3）①求直線AC的解析式；

②是否存在點P，使得△PAD的面積等于△DAE的面積，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）(0,3)；（2）y＝﹣x2+2x+3；（3）①；②當點P的坐標為（1，4）時，△PAD的面積等于△DAE的面積．

【解析】

（1）將代入二次函數解析式即可得點C的坐標；

（2）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3即可得出拋物線的解析式；

（3）①設直線直線AC的解析式為，把A（3，0），C代入即可得直線AC的解析式；

②存在點P，使得△PAD的面積等于△DAE的面積；設點P（x，﹣x2+2x+3）則點D（x，﹣x+3），可得PD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，DE=﹣x+3，根據Ｓ△PAD＝Ｓ△DAE時，即可得PD=DE，即可得出結論．

解：（1）由y＝ax2+bx+3，令

∴點C的坐標為（0，3）；

（2）把A（3，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3得

，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2x+3；

（3）①設直線直線AC的解析式為，

把A（3，0），C代入得

，

解得，

∴直線AC的解析式為；

②存在點P，使得△PAD的面積等于△DAE的面積，理由如下：

設點P（x，﹣x2+2x+3）則點D（x，﹣x+3），

∴PD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，DE=﹣x+3，

當Ｓ△PAD＝Ｓ△DAE時，有，得PD=DE，

∴﹣x2+3x=﹣x+3解得x1=1，x2=3（舍去），

∴y＝﹣x2+2x+3=﹣12+2+3=4，

∴當點P的坐標為（1，4）時，△PAD的面積等于△DAE的面積．