Question

【題目】如圖，AB是圓⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，連結AC交⊙O于點D，E為上一點，連結AE、BE，BE交AC于點F，且AE2=EFEB

（1）求證：CB=CF．

（2）若點E到弦AD的距離為1，cos∠C=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙O的半徑是．

【解析】

（1）如圖1，由已知證明△AEF∽△BEA，根據相似三角形的對應角相等可得∠1=∠EAB，再根據∠1=∠2，∠3=∠EAB，從而可得∠2=∠3，繼而可得CB=CF；

（2）如圖2，連接OE交AC于點G，設⊙O的半徑是r，由（1）可得∠4=∠5，繼而可得，從而可得EG=1，根據cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°，可得sin∠GAO=，繼而可求得半徑長.

（1）如圖1，∵AE2=EFEB，

∴，

又∵∠AEF=∠AEB，

∴△AEF∽△BEA，

∴∠1=∠EAB．

∵∠1=∠2，∠3=∠EAB，

∴∠2=∠3，

∴CB=CF；

（2）如圖2，連接OE交AC于點G，設⊙O的半徑是r，

由（1）知，△AEF∽△BEA，則∠4=∠5，

∴，

∴OE⊥AD，

∴EG=1，

∵cos∠C=，且∠C+∠GAO=90°，

∴sin∠GAO=，

∴，即，

解得，r=，

即⊙O的半徑是．