Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC，E是內心，AE的延長線交△ABC的外接圓于點D，以下四個結論：①BE＝AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④．其中正確的個數是( )

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據E是內心，可得出∠CAD=∠BAD，則點D為弧BC的中點，又由AC=BC，得CE⊥AB；則延長BE交圓于一點也一定是弧AC的中點，則BE=AE；根據同弧所對的圓周角相等，得出三角形DEB與ABC三個角分別對應相等．則三角形DEB與ABC相似，從而得出第4個結論正確．

∵E是內心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，
點D為弧BC的中點，
∵AC=BC，且CE為∠ACB的平分線，
∴CE⊥AB（三線合一），選項②正確；
∵AC=BC，∠ACE=∠BCE，CE=CE，
∴△ACE≌△BCE，（SAS）
∴∠CAE=∠CBE，
∴BE=AE，選項①正確；
∵∠CAD=∠BAD，
∴，
∴∠DBC=∠DAB，
∴∠EAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，即∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB，
∴△DEB是等腰三角形，選項③正確；
∵△ABC和△BED都為等腰三角形，且兩頂角∠ACB=∠EDB，
∴△ABC∽△BED，
∴，
∴=，
∵DE=DB，BE=AE，
∴，選項④正確，
∴正確結論有4個．
故選：D．