Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝－x＋1與拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)相交于點A(1，0)和點D(－4，5)，并與y軸交于點C，拋物線的對稱軸為直線x＝－1，且拋物線與x軸交于另一點B.

(1)求該拋物線的函數表達式；

(2)若點E是直線下方拋物線上的一個動點，求出△ACE面積的最大值；

(3)如圖2，若點M是直線x＝－1的一點，點N在拋物線上，以點A，D，M，N為頂點的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請直接寫出點M的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的表達式為y＝x2＋2x－3；(2)△ACE的面積的最大值為；(3)當點M的坐標為(－1，26)或(－1，16)或(－1，8)時，以點A，D，M，N為頂點的四邊形能成為平行四邊形．

【解析】試題分析：（1）先利用拋物線的對稱性確定出點B的坐標，然后設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x-1），將點D的坐標代入求得a的值即可；

（2）過點E作EF∥y軸，交AD與點F，過點C作CH⊥EF，垂足為H．設點E（m，m2+2m-3），則F（m，-m+1），則EF=-m2-3m+4，然后依據△ACE的面積=△EFA的面積-△EFC的面積列出三角形的面積與m的函數關系式，然后利用二次函數的性質求得△ACE的最大值即可；

（3）當AD為平行四邊形的對角線時．設點M的坐標為（-1，a），點N的坐標為（x，y），利用平行四邊形對角線互相平分的性質可求得x的值，然后將x=-2代入求得對應的y值，然后依據＝，可求得a的值；當AD為平行四邊形的邊時．設點M的坐標為（-1，a）．則點N的坐標為（-6，a+5）或（4，a-5），將點N的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值．

試題解析：(1)∴A(1，0)，拋物線的對稱軸為直線x＝－1，

∴B(－3，0)，

設拋物線的表達式為y＝a(x＋3)(x－1)，

將點D(－4，5)代入，得5a＝5，解得a＝1，

∴拋物線的表達式為y＝x2＋2x－3；

(2)過點E作EF∥y軸，交AD與點F，交x軸于點G，過點C作CH⊥EF，垂足為H.

設點E(m，m2＋2m－3)，則F(m，－m＋1)．

∴EF＝－m＋1－m2－2m＋3＝－m2－3m＋4.

∴S△ACE＝S△EFA－S△EFC＝EF·AG－EF·HC＝EF·OA＝－ (m＋)2＋.

∴△ACE的面積的最大值為；

(3)當AD為平行四邊形的對角線時：

設點M的坐標為(－1，a)，點N的坐標為(x，y)．

∴平行四邊形的對角線互相平分，

∴＝， ＝，

解得x＝－2，y＝5－a，

將點N的坐標代入拋物線的表達式，得5－a＝－3，

解得a＝8，

∴點M的坐標為(－1，8)，

當AD為平行四邊形的邊時：

設點M的坐標為(－1，a)，則點N的坐標為(－6，a＋5)或(4，a－5)，

∴將x＝－6，y＝a＋5代入拋物線的表達式，得a＋5＝36－12－3，解得a＝16，

∴M(－1，16)，

將x＝4，y＝a－5代入拋物線的表達式，得a－5＝16＋8－3，解得a＝26，

∴M(－1，26)，

綜上所述，當點M的坐標為(－1，26)或(－1，16)或(－1，8)時，以點A，D，M，N為頂點的四邊形能成為平行四邊形．