Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）若AB＝4，∠ABC＝30°，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）π+．

【解析】

（1）連接OD，如圖，利用等腰三角形的性質和平行線的判定方法證明OD∥AC，則利用DE⊥AC得到OD⊥DE，然后根據切線的判定方法得到結論；
（2）過點O作OH⊥BD于H，如圖，利用垂徑定理得到BH=DH，再計算出∠AOD=60°，OH=1，BH=，然后利用扇形的面積公式，利用陰影部分的面積=S扇形AOD+S△OBD進行計算．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∴∠ODB＝∠C，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）過點O作OH⊥BD于H，如圖，則BH＝DH，

∵∠B＝∠D＝30°，

∴∠AOD＝∠B+∠ODB＝60°，OH＝OB＝1，

∴BH＝OH＝，

∴BD＝2BH＝2，

∴陰影部分的面積＝S扇形AOD+S△OBD

＝×2×1

＝π+．