Question

（2003•蘇州）已知拋物線y=x²+（1-2a）x+a²（a≠0）與x軸交于兩點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁≠x₂）．
（1）求a的取值范圍，并證明A、B兩點都在原點O的左側；
（2）若拋物線與y軸交于點C，且OA+OB=OC-2，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先令拋物線的值y=0，可得出一個關于x的方程，那么x₁•x₂=a2＞0，因此x₁、x₂同號，然后可根據拋物線與x軸有兩個坐標不同的交點即方程的△＞0以及x₁+x₂的值來得出點A、B均在原點O左側．
（2）可先根據一元二次方程根與系數的關系用a表示出OA、OB的長，然后用a表示出OC的長，然后根據題中給出的等量關系：OA+OB=OC-2求出a的值．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且x₁≠x₂，
∴△=（1-2a）²-4a²＞0．a＜．
又∵a≠0，
∴x₁•x₂=a²＞0，
即x₁、x₂必同號．
而x₁+x₂=-（1-2a）=2a-1＜-1=-＜0，
∴x₁、x₂必同為負數，
∴點A（x₁，0），B（x₂，0）都在原點的左側．

（2）∵x₁、x₂同為負數，
∴由OA+OB=OC-2，
得-x₁-x₂=a²-2
∴1-2a=a²-2，
∴a²+2a-3=0．
∴a₁=1，a₂=-3，
∵a＜，且a≠0，
∴a的值為-3．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系以及一元二次方程根與系數的關系等知識點．