Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BF為⊙O的切線(xiàn)，∠AEB=90°，∠ABE=30°，過(guò)O作OD⊥BE，垂足為D，延長(zhǎng)OD交BF于點(diǎn)C，求證：△ABE≌△OCB．

Answer 1

分析：由∠AEB=90°，根據(jù)圓周角定理的推論得到AB是⊙O的直徑，而∠ABE=30°，則AE=

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AB=OB；再根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到∠OBC=90°；易證得AE∥OD，得∠EAB=∠DOB，然后根據(jù)三角形全等的判定即可得到結(jié)論．

解答：證明：∵∠AEB=90°，
∴AB是⊙O的直徑，
在△AEB中，∠AEB=90°，∠ABE=30°，
∴AE=

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AB=OB，
又∵BF為⊙O的切線(xiàn)，OB為半徑，
∴OB⊥BC，即∠OBC=90°，
∴∠AEB=∠OBC，
∵OD⊥BE，
∴∠ODB=∠AEB=90°，
∴AE∥OD，
∴∠EAB=∠DOB，
在△ABE和△OCB中，
∠AEB=∠OBC，AE=OB，∠EAB=∠COB，
∴△ABE≌△OCB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理的推論、三角形全等的判定以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．