Question

（2013•泰州）如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°．
（1）求證：DP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）連接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根據切線判定推出即可；
（2）求出OP、DP長，分別求出扇形DOB和三角形ODP面積，即可求出答案．

解答：（1）證明：連接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圓周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，
∴∠DOP=180°-120°=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°-30°-60°=90°，
∴OD⊥DP，
∵OD為半徑，
∴DP是⊙O切線；

（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，
∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3

3

cm，
∴圖中陰影部分的面積S=S_△ODP-S_扇形DOB=

1

2

×3×3

3

-

60π•32

360

=（

9

2

3

-

3

2

π）cm²

點評：本題考查了扇形面積，三角形面積，切線的判定，圓周角定理等知識點的應用，主要考查學生的推理和計算能力．