Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，分別以邊AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，連接GD，AG，BD. （提示：正方形的四條邊相等，四個角均為直角，可直接運用。）

（1）如圖1，求證：AG＝BD.

（2）如圖2，試說明：S△ABC＝S△CDG.

（3）園林小路，曲徑通幽，如圖3所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石鋪成，已知中間的所有正方形的面積之和是a平方米，內圈的所有三角形的面積之和是b平方米，這條小路一共占地　 　平方米．（不用寫過程）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）a+2b

【解析】試題分析：（1）由正方形的性質就可以得出△ACG≌△DCB，就可以得出結論；

（2）延長DC交GF于H，證明△BMC≌△GNC，就可以得出BM=GN，就可以得出結論．

（3）同（2）道理知外圈的所有三角形的面積之和等于內圈的所有三角形的面積之和，求出這條小路一共占地多少平方米．

試題解析：(1)∵四邊形ABHI、四邊形BCGF和四邊形CAED都是正方形，∴AB=BH=HI=AI，BC=CG=GF=BF，AE=DE=CD=AC，∠H=∠I=∠E=∠F=∠IAB=∠ABH=∠FBC=∠BCG=∠FGC=∠BAC=∠ACD=90°.

∴∠ACD+∠ACB=∠BCG+∠ACB，

∴∠DCB=∠ACG.

在△ACG和△DCB中，

，

∴△ACG≌△DCB(SAS)，

∴AG=BD；

(2)如圖，作BM⊥AC于M，GN⊥DC的延長于點N.

∴∠BMC=∠N=90°

∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，

∴∠1=∠3.

在△BMC和△GNC中，

，

∴△BMC≌△GNC(AAS)，

∴BM=GN，

∴ACBM=DCGN，

∵S△ABC=ACBM，S△DCG=DCGN，

∴S△ABC=S△CDG.

（3）由（2）知外圈的所有三角形的面積之和等于內圈的所有三角形的面積之和。

∴這條小路的面積為(a+2b)平方米。