Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，經過點C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別交于點D、E，則線段DE長度的最小值是_____．

Answer 1

【答案】4.8

【解析】

設DE的中點為F，圓F與AB的切點為P，連接FP，連接CF，CP，則有FP⊥AB；FC+FP＝DE，由三角形的三邊關系知，CF+FP＞CP；只有當點F在CP上時，FC+FP＝PC有最小值為CP的長，即當點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高CP上時，DE＝CP有最小值，由直角三角形的面積公式知，此時CP＝BCAC÷AB＝4.8．

解：如圖，設DE的中點為F，圓F與AB的切點為P，連接FP，連接CF，CP，則FP⊥AB．

∵AB＝10，，

∴AC＝8，BC＝6

∵∠ACB＝90°，

∴FC+FP＝DE，

∴CF+FP＞CP，

∵當點F在直角三角形ABC的斜邊AB的高CP上時，PC＝DE有最小值，

∴DE＝CP＝＝4.8

故答案為4.8．