Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），與y軸交于C（0，﹣2）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）H是C關于x軸的對稱點，P是拋物線上的一點，當△PBH與△AOC相似時，求符合條件的P點的坐標（求出兩點即可）；
（3）過點C作CD∥AB，CD交拋物線于點D，點M是線段CD上的一動點，作直線MN與線段AC交于點N，與x軸交于點E，且∠BME=∠BDC，當CN的值最大時，求點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0），

∴設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣4），

把（0，﹣2）代入y=a（x+1）（x﹣4），

∴a= ，

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣2

（2）

解：當△PBH與△AOC相似時，

∴△AOC是直角三角形，

∴△PBH也是直角三角形，

由題意知：H（0，2），

∴OH=2，

∵A（﹣1，0），B（4，0），

∴OA=1，OB=4，

∴

∵∠AOH=∠BOH，

∴△AOH∽△BOH，

∴∠AHO=∠HBO，

∴∠AHO+∠BHO=∠HBO+∠BHO=90°，

∴∠AHB=90°，

設直線AH的解析式為：y=kx+b，

把A（﹣1，0）和H（0，2）代入y=kx+b，

∴ ，

∴解得 ，

∴直線AH的解析式為：y=2x+2，

聯立 ，

解得：x=1或x=﹣8，

當x=﹣1時，

y=0，

當x=8時，

y=18

∴P的坐標為（﹣1，0）或（8，18）

（3）

解：過點M作MF⊥x軸于點F，

設點E的坐標為（n，0），M的坐標為（m，0），

∵∠BME=∠BDC，

∴∠EMC+∠BME=∠BDC+∠MBD，

∴∠EMC=∠MBD，

∵CD∥x軸，

∴D的縱坐標為﹣2，

令y=﹣2代入y= x2﹣ x﹣2，

∴x=0或x=3，

∴D（3，﹣2），

∵B（4，0），

∴由勾股定理可求得：BD= ，

∵M（m，0），

∴MD=3﹣m，CM=m（0≤m≤3）

∴由拋物線的對稱性可知：∠NCM=∠BDC，

∴△NCM∽△MDB，

∴ ，

∴ ，

∴CN= =﹣ （m﹣ ）2+ ，

∴當m= 時，CN可取得最大值，

∴此時M的坐標為（ ，﹣2），

∴MF=2，BF= ，MD=

∴由勾股定理可求得：MB= ，

∵E（n，0），

∴EB=4﹣n，

∵CD∥x軸，

∴∠NMC=∠BEM，∠EBM=∠BMD，

∴△EMB∽△BDM，

∴ ，

∴MB2=MDEB，

∴ = ×（4﹣n），

∴n=﹣ ，

∴E的坐標為（﹣ ，0）．

【解析】（1）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣4），然后將（0，﹣2）代入解析式即可求出a的值；（2）當△PBH與△AOC相似時，△PBH是直角三角形，由 可知∠AHB=90°，所以求出直線AH的解析式后，聯立一次函數與二次函數的解析式后即可求出P的坐標；（3）設M的坐標為（m，0），由∠BME=∠BDC可知∠EMC=∠MBD，所以△NCM∽△MDB，利用對應邊的比相等即可得出CN與m的函數關系式，利用二次函數的性質即可求出m= 時，CN有最大值，然后再證明△EMB∽△BDM，即可求出E的坐標．本題考查函數的綜合問題，涉及待定系數法求解析式，聯立解析式求交點坐標，相似三角形判定與性質，二次函數最值等知識，內容較為綜合，需要學生靈活運用知識去解決問題．