Question

已知拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（－1，0），O是坐標原點，且．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）直接寫出直線BC的函數表達式；
（3）如圖1，D為y軸的負半軸上的一點，且OD=2，以OD為邊作正方形ODEF.將正方形ODEF
以每秒1個單位的速度沿x軸的正方向移動，在運動過程中，設正方形ODEF與△OBC重疊部分的面積為s，運動的時間為t秒（0＜t≤2）.
求：①s與t之間的函數關系式； ②在運動過程中，s是否存在最大值？如果存在，直接寫出這個最大值；如果不存在，請說明理由．
（4）如圖2，點P（1，k）在直線BC上，點M在x軸上，點N在拋物線上，是否存在以A、M、
N、P為頂點的平行四邊形？若存在，請直接寫出M點坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）y=x²－2x－3（2）直線BC的函數表達式為y=x－3（3）① ②當t =2秒時，S有最大值，最大值為（4）存在。M ₁（－，0）M₂（，0），M₃（，0），M₄（，0）

解：（1）∵ A（－1，0）, ，∴C（0，－3）。
∵拋物線經過A（－1，0）,C（0，，3），
∴，解得。
∴拋物線的函數表達式y=x²－2x－3。
（2）直線BC的函數表達式為y=x－3。
（3）當正方形ODEF的頂點D運動到直線BC上時，設D點的坐標為（m，－2），
根據題意得：－2=m－3，∴m=1。
①當0＜t≤1時，S₁=2t；
當1＜t≤2時，如圖，

O₁（t，0），D₁（t，－2），
G（t，t－3），H（1，－2），
∴GD₁=t－1，HD₁= t－1。
∴S= 
。
∴s與t之間的函數關系式為

②在運動過程中，s是存在最大值：當t =2秒時，S有最大值，最大值為。
（4）存在。M ₁（－，0）M₂（，0），M₃（，0），M₄（，0）。
（1）求出點C的坐標，即可根據A，C的坐標用待定系數法求出拋物線的函數表達式。
（2）求出點B的坐標（3，0），即可由待定系數法求出直線BC的函數表達式。
（3）①分0＜t≤1和1＜t≤2討論即可。
②由于在0＜t≤2上隨t的增大而增大，從而在運動過程中，s是存在最大值：當t =2秒時，S有最大值，最大值為。
（4）由點P（1，k）在直線BC上，可得k=－2。∴P（1，－2）。

則過點P且平行于x軸的直線N₁N₂和在x軸上方與x軸的距離為2的直線N₃N₄，與y=x²－2x－3的交點N₁、N₂、 N₃、N₄的坐標分別為N₁（，－2），N₂（，－2）， N₃（， 2），N₄（， 2）。
則M₁的橫坐標為－PN₁加點A的橫坐標：－；
M₂的橫坐標為PN₂加點A的橫坐標：；
M₃的橫坐標為N₃的縱坐標加N₃的橫坐標：；
M₄的橫坐標為N₄的縱坐標加N₄的的橫坐標：。
綜上所述，M ₁（－，0）M₂（，0），M₃（，0），M₄（，0）。