Question

【題目】（本題滿分10分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為，點A、D、G在軸上，坐標原點O為AD的中點，拋物線過C、F兩點，連接FD并延長交拋物線于點M．

（1）若，求m和b的值；

（2）求的值；

（3）判斷以FM為直徑的圓與AB所在直線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=，b=1+（2）=1+（3）以FM為直徑的圓與AB所在的直線相切

【解析】

試題分析：（1）由a代入可求C，再根據待定系數法可求得m值，然后把F點坐標代入可求b；

（2）把C（2a，a）、F（2b，2b+1）代入y=得可求得=1+；

（3）由C、F、D的坐標可求得m=，然后可求得用a表示的F點的坐標，求出直線MF的解析式，代入二次函數，求得M點的坐標，然后過M作x軸的平行線，過F作y軸平行線相交于點H，取MF得中點Q，做垂線QN垂直AB 與N，交MH于P．在等腰直角三角形MFH中，求得QN=FM,進而得出結論．

試題解析：解：（1）∵a=1

∴把C（2，1）代入y=得4m=1

∴m=

把F（2b，2b+1）代入得

解得b=1±

負值舍去，所以b=1+

（2）把C（2a，a）、F（2b，2b+1）代入y=得

消去m得

∴

故=1±

∴=1+

以FM為直徑的圓與AB所在的直線相切，理由如下：

C（2a，a）、F（2b，2b+1）、D（0，a）

把C（2a，a）代入y=得a=m

∴m=

由（2）的結果=1+可得

故F（2a+2a，3a+2a）

設MF：y=kx+a（k＞0）

把F點坐標代入得k=1

所以MF得解析式為y=x+a

將y=x+a代入，解得x=2a±2a

所以M（2a-2a，3a-2a）

過M作x軸的平行線，過F作y軸平行線相交于點H，取MF得中點Q，做垂線QN垂直AB 與N，交MH于P．

在等腰直角三角形MFH中，MH=FH=4a

∴MF=8a

QN=2a+（3a-2a）+a=4a

故QN=MF

所以以FM為直徑的圓與直線AB相切．