Question

【題目】在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，△ABC外接圓⊙O的半徑為 ，△ABC內切圓⊙I的半徑為 ．

Answer 1

【答案】（﹣2，﹣）或（2，）．

【解析】

試題分析：由勾股定理求出斜邊AB，直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半，即可得出△ABC外接圓⊙O的半徑．由切線長定理得出AE=AD，CE=CF，BD=BF；證出四邊形IECF是正方形，則列方程即可求得⊙I的半徑r．

解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，

∴AB==5，

∴△ABC外接圓的半徑為AB=2.5；

連接△ABC內切圓⊙I的圓心I和各個切點，如圖所示．

∵⊙I為△ABC的內切圓，

∴AE=AD，CE=CF，BD=BF，IE⊥AC，IF⊥BC，

∴∠IFC=∠IEC=∠C=90°，

∴四邊形IECF是矩形；

∵IE=IF，

∴四邊形IECF是正方形；

∵⊙I的半徑為r，

∴CE=CF=r，AE=AD=3﹣r，BD=BF=4﹣r，

∴3﹣r+4﹣r=5，

解得：r=1，

∴△ABC的內切圓的半徑r=1．

故答案為：2.5，1．