Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉得到△DEC，連接AD，BE，延長BE交AD于點F．

（1）求證：∠DEF=∠ABF；

（2）求證：F為AD的中點；

（3）若AB=8，AC=10，且EC⊥BC，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）根據等角的余角相等證明即可；

（2）如圖1中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延長線于M，首先證明△ANB≌△DME，可得AN=DM，然后證明△AFN≌△DFM，求出AF=FD即可；（3）如圖2中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延長線于M，想辦法求出FM，EM即可．

（1）證明： ∵CB=CE，

∴∠CBE=∠CEB，

∵∠ABC=∠CED=90°，

∴∠DEF+∠CEB=90°，∠ABF+∠CBE=90°，

∴∠DEF=∠ABF．

（2）證明：如圖1中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延長線于M．

∵∠ABN=∠DEM，∠ANB=∠M=90°，AB=DE，

∴△ANB≌△DME（AAS），

∴AN=DM，

∵∠ANF=∠M=90°，∠AFN=∠DFM，AN=DM，

∴△AFN≌△DFM（AAS），

∴AF=FD，即F為AD的中點；

（3）如圖2中，作AN⊥BF于N，DM⊥BF交BF的延長線于M．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AC=10，AB=8，

∴BC=EC==6，

∵EC⊥BC，

∴∠BCE=∠ACD=90°，

∵AC=CD=10，

∴AD=10，

∴DF=AF=5，

∵∠MED=∠CEB=45°，

∴EM=MD=4，

在Rt△DFM中，FM==3，

∴EF=EM-FM=．