Question

【題目】如圖，在△ABC中，BD是AC邊上的高，點E在邊AB上，聯結CE交BD于點O，且，AF是∠BAC的平分線，交BC于點F，交DE于點G.

(1)求證：CE⊥AB.

(2)求證：.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）首先判定Rt△ADB∽Rt△ODC，得出∠ABD =∠OCD，然后通過三角形內角和轉換得出∠OEB = 90°，進而得出CE⊥AB；

（2）首先判定△ADB∽△AEC，得出，然后再判定△DAE∽△BAC，得出，進而得出.

(1)∵，

∴.

∵BD是AC邊上的高，

∴∠BDC = 90°，△ADB和△ODC是直角三角形.

∴Rt△ADB∽Rt△ODC.

∴∠ABD =∠OCD.

又∵∠EOB=∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°，

∠EOB +∠ABD+∠OEB =180°.

∴∠OEB = 90°.

∴CE⊥AB.

(2)在△ADB和△AEC中，

∵∠BAD=∠CAE，∠ABD =∠OCD，

∴△ADB∽△AEC.

∴， 即.

在△DAE和△BAC中

∵∠DAE =∠BAC，.

∴△DAE∽△BAC.

∵AF是∠BAC的平分線，

∴，即.