Question

如圖，在平面直角坐標系中，A是拋物線上的一個動點，且點A在第一象限內．AE⊥y軸于點E，點B坐標為(O，2)，直線AB交軸于點C，點D與點C關于y軸對稱，直線DE與AB相交于點F，連結BD．設線段AE的長為m，△BED的面積為S．
（1）當時，求S的值．
（2）求S關于的函數解析式．
（3）①若S＝時，求的值；
②當m＞2時，設，猜想k與m的數量關系并證明．

Answer 1

（1）；（2）；（3）①；②，證明見解析.

試題分析：（1）根據點在曲線上點的坐標與方程的關系，求出點A的坐標，根據△ABE∽△CBO求出CO的長，從而根據軸對稱的性質求出DO的長，進而求出△BED的面積S．
（2）分和兩種情況討論.
（3）①連接AD，由△BED的面積為求出現，得到點A 的坐標，應用待定系數法，設
得到，從而.
②連接AD，應用待定系數法，設得到，從而得到，因此.
得到，從而
試題解析：（1）∵點A是拋物線上的一個動點，AE⊥y軸于點E，且，
∴點A的坐標為. ∴當時，點A的坐標為.
∵點B的坐標為，∴BE=OE=1.
∵AE⊥y軸，∴AE∥x軸. ∴△ABE∽△CBO.∴，即，解得.
∵點D與點C關于y軸對稱，∴.
∴.
（2）①當時，如圖，
∵點D與點C關于y軸對稱，∴△DBO≌△CBO.
∵△ABE∽△CBO，∴△ABE∽△DBO .∴.∴
∴.

②當時，如圖，同①可得

綜上所述，S關于的函數解析式.
（3）①如圖，連接AD，
∵△BED的面積為，∴.∴點A 的坐標為.
設，∴.
∴.
∴.

②k與m的數量關系為，證明如下：
連接AD，則
∵，∴.
∴.
∵點A 的坐標為，∴.