Question

【題目】已知直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，拋物線的頂點M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個交點為N．

（1）如圖，當點M與點A重合時，求：

①拋物線的解析式；

②點N的坐標和線段MN的長；

（2）拋物線在直線AB上平移，是否存在點M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①②N（，－4），（2）存在．點M的坐標為（2，－1）或（4，3）

【解析】

（1）①由直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，求出點A、B的坐標，由頂點M與點A重合，根據二次函數的性質求出頂點解析式．

②聯立和，求出點N的坐標，過N作NC⊥x軸，由勾股定理求出線段MN的長．

（2）根據相似三角形的性質，可得關于m或n的方程，可得M點的坐標，要分類討論，以防遺漏．

解：（1）①∵直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，

∴A（，0），B（0，－5）．

當頂點M與點A重合時，∴M（，0）．

∴拋物線的解析式是：，即．

②∵N是直線與在拋物線的交點，

∴，解得或．

∴N（，－4）．

如圖，過N作NC⊥x軸，垂足為C．

∵N（，－4），∴C（，0）

∴NC=4．MC=OM－OC=．

∴．

（2）設M（m，2m-5），N（n，2n-5）．
，

，

則OB=2OA，，

當∠MON=90°時，

∵AB≠MN，且MN和AB邊上的高相等，因此△OMN與△AOB不能全等，
∴△OMN與△AOB不相似，不滿足題意．
當∠OMN=90°時，，即，解得，

則m2+（2m-5）2=（）2，解得m=2，
∴M（2，-1）；

當∠ONM=90°時，，即，解得，

則n2+（2n-5）2=（）2，解得n=2，
解得：m=4，
則M的坐標是M（4，3）．
故M的坐標是：（2，-1）或（4，3）．