Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上的一個動點（不與點A重合），延長ME交CD的延長線于點N，連接MD，AN．

（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形．
（2）當AM的值為何值時，四邊形AMDN是矩形？請說明理由．

Answer 1

（1）見解析  （2）AM=1。理由見解析

解析試題分析：（1）根據菱形的性質可得ND∥AM，從而可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根據中點的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明△NDE和△MAE全等，根據全等三角形對應邊相等得到ND=MA，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明。
（2）根據矩形的性質得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答。　
解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴ND∥AM。
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME。
∵點E是AD中點，∴DE=AE。
∵在△NDE和△MAE中，∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，DE=AE，
∴△NDE≌△MAE（AAS）。∴ND=MA。
∴四邊形AMDN是平行四邊形。
（2）AM=1。理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=2。
若平行四邊形AMDN是矩形，則DM⊥AB，即∠DMA=90°。
∵∠A=60°，∴∠ADM=30°。∴AM=AD=1。