Question

【題目】如圖，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，OA：OB=．以線段AB為邊在第二象限內作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．

（1）求點A的坐標和k的值；

（2）求點C坐標；

（3）直線y=x在第一象限內的圖象上是否存在點P，使得△ABP的面積與△ABC的面積相等？如果存在，求出點P坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣1，0），k=2；（2）C（﹣3，1）；（3）P坐標為（2，1）．

【解析】

（1）對于直線y=kx+2，令x=0求出y的值，確定出B坐標，得到OB的長，根據OA與OB比值求出OA的長，確定出A坐標，代入直線方程即可求出k的值；

（2）過C作CM垂直于x軸，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，以及AC=AB，利用AAS得到三角形ACM與三角形BAO全等，由全等三角形對應邊相等得到CM=OA，AM=OB，由AM+OA求出OM的長，即可確定出C坐標；

（3）假設存在點P使得△ABP的面積與△ABC的面積相等，在直線y= x第一象限上取一點P，連接BP，AP，設點P（m，m），由三角形ABO面積+三角形BPO面積-三角形AOP面積表示出三角形ABP面積，求出三角形AOB面積，兩者相等求出m的值，即可確定出P坐標．

（1）對于直線y=kx+2，令x=0，得到y=2，即B（0，2），OB=2，

∵OA：OB=，∴OA=1，即A（﹣1，0），

將x=﹣1，y=0代入直線解析式得：0=﹣k+2，即k=2；

（2）過C作CM⊥x軸，可得∠AMC=∠BOA=90°，

∴∠ACM+∠CAM=90°，

∵△ABC為等腰直角三角形，即∠BAC=90°，AC=BA，

∴∠CAM+∠BAO=90°，

∴∠ACM=∠BAO，

在△CAM和△ABO中，

，

∴△CAM≌△ABO（AAS），

∴AM=OB=2，CM=OA=1，即OM=OA+AM=1+2=3，

∴C（﹣3，1）；

（3）假設存在點P使得△ABP的面積與△ABC的面積相等，在直線y=x第一象限上取一點P，連接BP，AP，

設點P（m，m），

∴S△ABP=S△ABO+S△BPO﹣S△AOP=1+m﹣m=1+m，而S△ABC=ABAC=AB2=（12+22）=，

可得1+m=，

解得：m=2，

則P坐標為（2，1）．