Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC交AC的延長線于點E.

(1)求證：DE是⊙O的切線；

(2)若AD=BC，⊙O半徑為6，求∠CAD與圍成的陰影部分的面積.

Answer 1

【答案】（1）直線DE與⊙O相切，理由見解析；（2）6

【解析】

（1）連接OD，由AD為角平分線，得到一對角相等，再由OA=OD，得到一對角相等，通過等量代換得到一對內錯角相等；根據上步結論可推理得到平行線，再結合AE⊥ED即可證得結論；

（2）先判斷△COD是等邊三角形，根據等底同高的三角形的面積相等可知S△ACD=S△COD，從而∠CAD與弧CD圍成的陰影部分的面積=扇形COD的面積.

解：（1）直線DE與⊙O相切，

理由如下：連接OD，如圖所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠OAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠EAD，

∴EA∥OD，

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD，

又∵點D在⊙O上，

∴直線DE與⊙O相切；

（2）連接CD，OC.

∵AD=BC，

∴ 弧AD =弧BC ，

∴ 弧AC = 弧BD ，

∵ 弧CD = 弧BD ，

∴ 弧AC = 弧CD =弧BD，

∴∠COD=∠BOD=60°，

∵OC=OD，

∴△COD是等邊三角形，

∴∠CDO=∠DOB=60°，

∴CD∥AB，

∴S△ACD=S△COD，

∴∠CAD與弧CD圍成的陰影部分的面積=扇形COD的面積=.