Question

【題目】在平面直角坐標系中，平移一條拋物線，如果平移后的新拋物線經過原拋物線頂點，且新拋物線的對稱軸是y軸，那么新拋物線稱為原拋物線的“影子拋物線”．

（1）已知原拋物線表達式是，求它的“影子拋物線”的表達式；

（2）已知原拋物線經過點（1，0），且它的“影子拋物線”的表達式是，求原拋物線的表達式；

（3）小明研究后提出：“如果兩條不重合的拋物線交y軸于同一點，且它們有相同的“影子拋物線”，那么這兩條拋物線的頂點一定關于y軸對稱．”你認為這個結論成立嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）結論成立，理由見解析

【解析】

（1）設影子拋物線表達式是，先求出原拋物線的頂點坐標，代入，可求解；

（2）設原拋物線表達式是，用待定系數法可求，，即可求解；

（3）分別求出兩個拋物線的頂點坐標，即可求解．

解：（1）原拋物線表達式是

原拋物線頂點是，

設影子拋物線表達式是，

將代入，解得，

所以“影子拋物線”的表達式是；

（2）設原拋物線表達式是，

則原拋物線頂點是，

將代入，得①，

將代入，②，

由①、②解得，．

所以，原拋物線表達式是或；

（3）結論成立．

設影子拋物線表達式是．原拋物線于軸交點坐標為

則兩條原拋物線可表示為與拋物線（其中、、、是常數，且，

由題意，可知兩個拋物線的頂點分別是、

將、分別代入，

得

消去得，

，

，，

、關于軸對稱．