Question

如圖，O是△ABC的外心，弦AB的垂直平分線與AB和AC分別相交于點M、N，與BC邊的延長線相交于點P，求證：OA²=ON•OP．

Answer 1

分析：連接OB，所求的乘積式可化為：OA•OB=ON•OP；將上式化為比例式，然后證線段所在的三角形相似，即證△OAN∽△OPB．

解答：證明：連接OB；
∵PM垂直平分AB，
∴OA=OB，AM=BM，OM⊥AB；
∴∠AOM=∠BOM=

1

2

∠AOB；
∵∠ACB=

1

2

∠AOB，∴∠ACB=∠AOM；
∴∠NAO+∠ANO=∠P+∠PNC；
∵∠PNC=∠ANO，∴∠P=∠NAO；
∵∠AOM=∠MOB，
∴∠AON=∠BOP；
∴△ANO∽△PBO，
∴

ON

OB

=

OA

OP

，即OA•OB=OP•ON；
∵OA=OB，
∴OA²=ON•OP．

點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質，涉及到的知識點有：線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質、圓周角定理、三角形的外角性質等，綜合性強，難度偏大．