Question

如圖，直線與x軸、y軸分別交于點A、C，經過A、C兩點的拋物線與x軸的負半軸上另一交點為B，且tan∠CBO=3．

（1）求該拋物線的解析式及拋物線的頂點D的坐標；
（2）若點P是射線BD上一點，且以點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標.

Answer 1

（1），D（-2，-1）（2）P的坐標為（）或（）．

解析試題分析：（1）由直線可求得A、C的坐標，再由tan∠CBO=3，可求得B的坐標，用交點式可以求出拋物線解析式，通過配方即可求出頂點D的坐標；
（2）過D作DE⊥AB于E，可以得到∠CAO=∠ABD=45°，直線BD的方程為：，表示出PB的長，因為有一對角相等，所以只需要夾這個角的兩邊對應成比例，即可得到三角形相似，所以有兩種情況：和，分別求出PB，再求出P的坐標即可．
試題解析：（1）連結BC，由直線知，點A（-3，0）、C（0，3）；∴OC=3，∵tan∠CBO=3，∴OB=1，∴B（-1，0）；設，把C（0，3）代入得：，解得：，∴，∵，∴頂點D（）；

（2）過D作DE⊥AB于E，∵D （），B（-1，0），∴DE=1，BE=1，∴∠ABD=45°，∵A（-3，0）、C（0，3），∴OA=OC=3，∴∠CAO=45°，AO=CO=3，∴AC=，∴∠CAO=∠ABD．設直線BD為，把D （），B（-1，0）代入得：，解得：，∴直線BD為．
∵點P在射線BD上，∴設P（）且，則PB=，∵，∴PB=，∵∠CAO=∠ABD，∴有以下兩種情況，可以使以點P、A、B為頂點的三角形與△ABC相似：
①當時，即，解得：，∴，∴P（）；

②當時，即，解得：，∴，∴P（）；
∴點P的坐標為（）或（）．
考點：1．二次函數綜合題；2．代數幾何綜合題．