Question

【題目】由特殊到一般、類比、轉化是數學學習和研究中經常用到的思想方法，下面是對一道幾何題進行變式探究的思路，請你運用上述思想方法完成探究任務．

問題情境：在四邊形中，是對角線，為邊上一點，連接.以為旋轉中心，將線段順時針旋轉，旋轉角與相等，得到線段，連接．

（1）特例如圖1，若四邊形是正方形，則與位置關系是_________．此時可以過點作的平行線來對結論進行證明（這里不要求證明）

（2）拓展探究：如圖2，若四邊形是菱形，當時，求的度數；

Answer 1

【答案】（1）；（2）50°．

【解析】

（1）如圖1中，作EH∥AC交AB于H．只要證明△HAE≌△CEF，即可推出∠AHE=∠ECF=135°，由∠BCA=45°，推出∠ACF=90°；

（2）如圖2中，作EH∥AC交AB于H．只要證明△HAE≌△CEF，即可解決問題．

解：（1）證明：如圖1中，作EH∥AC交AB于H．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠BAC=∠BCA=45°，

∵EH∥AC，

∴∠BHE=∠BAC=45°，∠BEH=∠BCA=45°，

∴∠BHE=∠BEH=45°，∠AHE=135°，

∴BH=BE， ∴AH=CE，

∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF，

∵∠AEF=∠B=90°，

∴∠HAE=∠CEF，

在△HAE和△CEF中，

∴△HAE≌△CEF，

∴∠AHE=∠ECF=135°，

∵∠BCA=45°，

∴∠ACF=90°，

∴AC⊥CF．

故答案為：AC⊥CF.

（2）如圖2中，過點E作EH∥AC交AB于H.

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠BAC＝∠BCA，

∵EH∥AC，

∴∠BHE＝∠BAC，∠BEH＝∠BCA，

∴∠BHE＝∠BEH，

∴BH＝BE，

∴AH＝CE，

∵∠AEC＝∠B+∠BAE＝∠AEF+∠CEF，

∵∠AEF＝∠B，

∴∠HAE＝∠CEF，

在△HAE和△CEF中，

，

∴△HAE≌△CEF，

∴∠AHE＝∠ECF，

∵∠B＝50°，

∴∠BHE＝∠ACB＝65°，

∴∠AHE＝∠ECF＝115°

∴∠ACF＝115°﹣65°＝50°.