Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于點O，點D、E分別在邊AC、BC上，且AD=CE，連結DE交CO于點P，給出以下結論：
①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，則四邊形CEOD的面積為 ；④AD2+BE2﹣2OP2=2DPPE，其中所有正確結論的序號是

Answer 1

【答案】①②③④
【解析】解：①正確．如圖，∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB
∴AO=OB=OC，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°，
在△ADO和△CEO中，
，
∴△ADO≌△CEO，
∴DO=OE，∠AOD=∠COE，
∴∠AOC=∠DOE=90°，
∴△DOE是等腰直角三角形．故①正確．
②正確．∵∠DCE+∠DOE=180°，
∴D、C、E、O四點共圓，
∴∠CDE=∠COE，故②正確．
③正確．∵AC=BC=1，
∴S△ABC= ×1×1= ，S四邊形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC= S△ABC= ，
故③正確．
④正確．∵D、C、E、O四點共圓，
∴OPPC=DPPE，
∴2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，
∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE，
∴△OPE∽△OEC，
∴ = ，
∴OPOC=OE2 ，
∴2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2 ，
∵CD=BE，CE=AD，
∴AD2+BE2=2OP2+2DPPE，
∴AD2+BE2﹣2OP2=2DPPE．
故④正確．

①正確．由ADO≌△CEO，推出DO=OE，∠AOD=∠COE，由此即可判斷．
②正確．由D、C、E、O四點共圓，即可證明．
③正確．由S△ABC= ×1×1= ，S四邊形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC= S△ABC即可解決問題．④正確．由D、C、E、O四點共圓，得OPPC=DPPE，所以2OP2+2DPPE=2OP2+2OPPC=2OP（OP+PC）=2OPOC，由△OPE∽△OEC，得到 = ，即可得到2OP2+2DPPE=2OE2=DE2=CD2+CE2 ， 由此即可證明．本題考查勾股定理、四點共圓、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形，學會利用四點共圓解決問題，題目比較難，用到的知識點比較多．