Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8厘米，AC=12厘米，點D在AC上，CD=3厘米．點P、Q分別由A、C兩點同時出發，點P沿AC方向向點C勻速移動，速度為每秒是k厘米；點Q沿CB方向向點B勻速移動，速度為每秒1厘米．設運動的時間為x秒（0＜x＜8），△DCQ的面積為y₁平方厘米，△PCQ的面積為y₂平方厘米．
（1）求y₁與x的函數關系，并在圖2中畫出y₁的圖象；
（2）如圖2，y₂的圖象是拋物線的一部分，其頂點坐標是（4，12），求k的值和y₂與x的函數關系；
（3）在圖2中，設y₁與y₂的圖象的交點為M，點G是x軸正半軸上一點（0＜OG＜6），過G作EF垂直于x軸，分別與y₁、y₂的圖象交于點E、F．求△OMF面積的最大值．
①說出線段EF的長在圖1中所表示的實際意義；
②求△OMF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據三角形的面積公式可得y₁=x；
（2）先設y₂=x（12-kx）=-x²+6x，把x=12時，y₂=12代入解析式可求得k=，即y₂=-x²+6x；
（3）①線段是長EF=y₂-y₁，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ的面積），由x=-x₂+6x得點M（6，9），過點M做MH⊥EF于點H，則S_△OMF=S_△OEF+S_△MEF=3EF=3（-x²+6x-x）=（x-3）²+，所以當x=3時，△OMF的面積有最大值為．
解答：解：（1）y₁=x
畫圖正確（2分）

（2）y₂=x（12-kx）=-x²+6x   （4分）
由題設：當x=4時，y₂=12，
所以-8k+24=12，
解得k=（5分）
從而y₂=-x²+6x   （6分）

（3）①線段是長EF=y₂-y₁，表示△PCQ與△DCQ的面積差（或△PDQ的面積）（7分）
②解法一：由x=-x₂+6x
得點M（6，9）
過點M做MH⊥EF于點H，則S_△OMF=S_△OEF+S_△MEF=EF．
OG+EF．MH=EF×6=3EF（9分）
=3（-x²+6x-x）=（x-3）²+（10分）
所以當x=3時，△OMF的面積有最大值為（12分）
解法二：由x=-x₂+6x得點M（6，9）
過點M做MH⊥x軸于點N，則
S_△OMF=S_{四邊形ONMF}-S_△ONM=S_△OGF+S_梯形FGNM-S_△ONM（9分）
=-x²+x   （10分）
所以當x=3時，△OMF的面積有最大值為．（12分）
點評：本題結合三角形的性質考查二次函數的綜合應用，函數和幾何圖形的綜合題目，要利用三角形的性質和二次函數的性質把數與形有機的結合在一起，利用圖形間的“和差“關系求解．