Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD=BC，延長AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

（1）求證：BE是⊙O的切線；

（2）若BC=，AC=5，求圓的直徑AD及切線BE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）R=3，BE=．

【解析】

試題分析：（1）連接OB，根據已知條件易證∠EBD=∠CAB，繼而得到∠BAD=∠EBD，根據直徑所對的圓周角為直角即可證得結論；（2）連接CD，交OB于點F，易證OF為三角形ADC的中位線，根據三角形的中位線定理求得OF，再用平行線分線段成比例定理求出半徑R，最后用切割線定理即可．

試題解析：（1）如圖，

連接OB，∵BD=BC，

∴∠CAB=∠BAD，

∵∠EBD=∠CAB，

∴∠BAD=∠EBD，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD=90°，OA=BO，

∴∠BAD=∠ABO，

∴∠EBD=∠ABO，

∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABD+∠OBD=∠ABD=90°，

∵點B在⊙O上，

∴BE是⊙O的切線，

（2）如圖2，

設圓的半徑為R，連接CD，

∵AD為⊙O的直徑，

∴∠ACCD=90°，

∵BC=BD，

∴OB⊥CD，

∴OB∥AC，

∵OA=OD，

∴OF=AC=，

∵四邊形ACBD是圓內接四邊形，

∴∠BDE=∠ACB，

∵∠DBE=∠ACB，

∴△DBE∽△CAB，

∴，

即，

∴DE=，

∵∠OBE=∠OFD=90°，

∴DF∥BE，

∴，

∴，

∵R＞0，

∴R=3，

∵BE是⊙O的切線，

∴BE=．