Question

【題目】如圖，在與中，，，，，，射線與直線交于點P．

（1）求證：；

（2）若，求的值；

（3）若繞點B逆時針旋轉一周，直接寫出線段的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）；（3），3-.

【解析】

（1）由，∠ABE =∠CBD，結合，即可得證；

（2）過點E作EM⊥AB，則EM=BN=2，BM=EN=5-1=4，易證：∴PED，CND，AME都是等腰直角三角形，根據正切三角函數的定義，即可求解；

（3）由，易證：點P，C，B，A在以AC為直徑的圓弧上，結合圖形，可得線段的最大值與最小值．

（1）∵，

∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC=∠CBD，

∵，，，，

∴，

∴；

（2）∵，，，，，

∴DE=5，

∵，

∴BN⊥DE，

∴BN=，

∴CN=BC-BN=3-2=1，，

∴CN=DN，

∴∠PDE=45°，

過點E作EM⊥AB，則EM=BN=2，BM=EN=5-1=4，如圖1，

∴AM=6-4=2，

∴AM=EM，

∴∠EAB=45°，

∴∠PED=∠EAB=45°，

∴PED，CND，AME都是等腰直角三角形，

∴PE=PD=5÷=，AE=2，CD=，

∴PA=PE+AE=，PC= PD- CD=，

∴=；

（3）∵，如圖1，

∴∠EAB=∠DCB，

∵∠DCB+∠PCB=180°，

∴∠EAB +∠PCB=180°，

∴點P，C，B，A在以AC為直徑的圓弧上，

∴AP≤AC=，

∴AP的最大值為：.

當且都是等腰直角三角形時，AP的值最小，如圖2，

此時，都是等腰直角三角形，

設AP=x，則AM=，MB=6-，

∵

∴，解得：x=3-，

即：AP的最小值為：3-./span>

圖1 圖2