【題目】如圖，點E是△ABC的內心，AE的延長線與BC相交于點F，與△ABC的外接圓相交于點D
（1）求證：△BFD∽△ABD；
（2）求證：DE=DB．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．
【解析】
試題分析：（1）先根據內心的性質得出∠BAD=∠CAD，再由圓周角定理得出∠CAD=∠CBD，故可得出∠BAD=∠CBD，進而可得出結論；
（2）連接BE，根據點E是△ABC的內心得出∠ABE=∠CBE．由∠CBD=∠BAD可得出∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD，進而可得出結論．
試題解析：（1）證明：∵點E是△ABC的內心，∴∠BAD=∠CAD．
∵∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD．
∵∠BDF=∠ADB，∴△BFD∽△ABD；
（2）證明：連接BE，∵點E是△ABC的內心，∴∠ABE=∠CBE．
又∵∠CBD=∠BAD，∴∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠CBD．
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，即∠DBE=∠BED，∴DE=DB．
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學而優暑期銜接南京大學出版社系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，⊙O的半徑為r（r＞0），若點P′在射線OP上，滿足OP′OP=
，則稱點P′是點P關于⊙O的“反演點”．
如圖2，⊙O的半徑為4，點B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若點A′，B′分別是點A，B關于⊙O的反演點，求A′B′的長．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】請閱讀下列材料，并完成相應的任務：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數學家之一，他與牛頓、高斯并成為三大數學王子．
阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，蘇聯在1964年根據Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是
的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD=AB+BD．下面是運用“截長法”證明CD=AB+BD的部分證明過程．證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中點，∴MA=MC．
…
任務：
（1）請按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；
（2）填空：如圖3，已知等邊△ABC內接于⊙O，AB=2，D為
上一點，∠ABD=45°，AE⊥BD于點E，則△BDC的周長是 ．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函數
和反比例函數
的圖象的兩個交點．
（1）求一次函數和反比例函數的解析式；
（2）觀察圖象，直接寫出方程
的解；
（3）求△AOB的面積；
（4）觀察圖象，直接寫出不等式
的解集．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直線y=ax+b與反比例函數
（x＞0）的圖象交于A（1，4），B（4，n）兩點，與x軸、y軸分別交于C、D兩點．
（1）m= ，n= ；若M（
，
），N（
，
）是反比例函數圖象上兩點，且0＜＜，則 （填“＜”或“=”或“＞”）；
（2）若線段CD上的點P到x軸、y軸的距離相等，求點P的坐標．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一次函數y=x+b的圖象與反比例函數
（k為常數，k≠0）的圖象交于點A（﹣1，4）和點B（a，1）．
（1）求反比例函數的表達式和a、b的值；
（2）若A、O兩點關于直線l對稱，請連接AO，并求出直線l與線段AO的交點坐標．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，一條直線分別與直線BE、直線CE、直線BF、直線CF相交于點A，G，H，D且∠1=∠2，∠B=∠C 
（1）找出圖中相互平行的線，說說它們之間為什么是平行的；
（2）證明：∠A=∠D．
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