Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，其中點A的坐標為（﹣3，0）．

（1）求點B的坐標；

（2）已知a＝1，C為拋物線與y軸的交點：

①若點P在拋物線上，且S△POC＝4S△BOC，求點P的坐標；

②在拋物線的對稱軸上找出一點Q，使BQ+CQ的值最小，并求出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（1，0）；（2）①（﹣4，5）或（4，21）；②（﹣1，﹣2）．

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸及點A的坐標，利用二次函數的對稱性即可求出點B的坐標；

（2）由a的值及點A、B的坐標，即可求出二次函數的解析式，再利用二次函數的性質可求出點C的坐標．

①設點P的坐標為（x，x2+2x﹣3），根據三角形的面積公式結合S△POC＝4S△BOC，即可得出關于x的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論；

②連接AC，交拋物線對稱軸于點Q，利用兩點之間線段最短結合二次函數的對稱性可得出此時BQ+CQ的值最小，由點A、C的坐標，利用待定系數法可求出直線AC的解析式，再利用一次函數圖象上點的坐標特征即可求出點Q的坐標．

（1）∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，點A的坐標為（﹣3，0），

∴點B的坐標為（﹣1×2﹣（﹣3），0），即（1，0）．

（2）∵a＝1，點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（1，0），

∴拋物線的解析式為y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，

又∵點C為拋物線與y軸的交點，

∴點C的坐標為（0，﹣3）．

①設點P的坐標為（x，x2+2x﹣3），

∵S△POC＝4S△BOC，

∴|x|OC＝4×OBOC，即|x|＝4，

∴x＝±4，

∴點P的坐標為（﹣4，5）或（4，21）．

②連接AC，交拋物線對稱軸于點Q，此時BQ+CQ的值最小，如圖所示．

設直線AC的解析式為y＝mx+n（m≠0），

將A（﹣3，0）、B（0，﹣3）代入y＝mx+n，得：

，解得：，

∴直線AC的解析式為y＝﹣x﹣3．

當x＝﹣1時，y＝﹣1×（﹣1）﹣3＝﹣2，

∴點Q的坐標為（﹣1，﹣2）．