Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，∠ABC的平分線BM交AE于點M，點O在AB上，以點O為圓心，OB的長為半徑的圓經過點M，交BC于點G，交AB于點F．

（1）求證：AE為⊙O的切線；
（2）當BC=4，AC=6時，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求線段BG的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OM，如圖，

∵BM是∠ABC的平分線，

∴∠OBM=∠CBM，

∵OB=OM，

∴∠OBM=∠OMB，

∴∠CBM=∠OMB，

∴OM∥BC，

∵AB=AC，AE是∠BAC的平分線，

∴AE⊥BC，

∴OM⊥AE，

∴AE為⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑為r，

∵AB=AC=6，AE是∠BAC的平分線，

∴BE=CE= BC=2，

∵OM∥BE，

∴△AOM∽△ABE，

∴ = ，即 = ，解得r= ，

即設⊙O的半徑為 ；

（3）解：作OH⊥BE于H，如圖，

∵OM⊥EM，ME⊥BE，

∴四邊形OHEM為矩形，

∴HE=OM= ，

∴BH=BE﹣HE=2﹣ = ，

∵OH⊥BG，

∴BH=HG= ，

∴BG=2BH=1．5

【解析】（1）證切線須連半徑，再證直線與半徑 垂直；（2） 設半徑為未知數，利用△AOM∽△ABE構建方程，求出半徑；（3）求弦長，須作垂線，得平分,先求一半，再求整體.